Pridané dňa od Martin Dodek

Dosť zvláštna kombinácia, nemyslíte? Na jednej strane kráľovná prírodných vied a na tej druhej najvznešenejšia forma umenia. Väčší kontrast medzi dvomi oblasťami ľudskej tvorivosti si snáď ani nevieme predstaviť. Matematika sa snaží odpovedať na otázky zo sveta abstraktného, kde na prvý pohľad nie je príležitosť ukázať tú pravú formu umenia.

Hudba je zase doménou spontánnych emócii a pocitov, ktoré v nás vyvoláva. Či už ako poslucháča alebo interpreta.

Sú to dva protiklady- rozum a cit, ktoré však pri detailnejšom pohľade skrývajú nečakané súvislosti a prekvapenia, ktoré sa vám teraz pokúsim priblížiť.

Zvuk:

Ak sa pozrieme na zvuk z hľadiska fyziky, hudobný nástroj v ktorom vzniká je zložitá sústava. Najjednoduchším modelom, ktorý nám vie vznik zvuku priblížiť je struna. Tá po vybudení kmitá harmonickými kmitmi určitej frekvencie. Správanie sa struny vo fyzike popisujú diferenciálne rovnice.  Riešením je známa harmonická funkcia sínus, ktorá výnimočne dobre popisuje aj mnohé iné deje v prírode. Kmitanie a sínusový priebeh sú teda základom každého tónu a hudby .

Veľmi podstatným vzťahom je závislosť frekvencie kmitania od vlastností a napínacej sily struny. Ten  nám dáva jasnú predstavu o konštrukcii nástrojov. Hlbší tón požaduje dlhšiu a hmotnejšiu strunu a tiež aj menšiu napínaciu silu. Vyšší zase naopak.

Pri vnímaní hudby hrá významnú rolu aj sluch.

Ľudské ucho je  veľmi zložitá akustická sústava. Sluch zdravého človeka dokáže počuť frekvencie v rozsahu 20Hz-20kHz čo nazývame akustické pásmo.

Veľmi podstatným faktom je to, že vnímame intenzitu zvuku logaritmicky. To v praxi znamená, že počujeme citlivo aj slabé zvuky a zase zvuky veľmi silné nám nepripadajú až tak neznesiteľne hlasité.

Okrem frekvencie kmitania je zvuk charakterizovaný aj svojou farbou.

Farba zvuku

Je pomerne relatívny a subjektívny pojem. Ak povieme že niekto má pekný hlas alebo že tá elektrická gitara je príliš ostrá tak charakterizujeme jeho farbu. Podstata spočíva v zložkách vyšších harmonických frekvencii ktoré sa skladajú k základnému sínusovému priebehu. Ak by sme totiž počúvali iba čistý sínus, zvuk by nám pripadal mimoriadne fádny a umelý. Vyššie harmonické frekvencie vznikajú kmitaním zlomkových častí struny.. jej polovice… tretiny teoreticky až do nekonečna.  Tak získavame vyššie frekvencie ktoré sa miešajú so základnou. V hudobnej terminológii sa nazývajú aj alikvotné tóny. Ich kombinovaním vzniká charakteristický zvuk nástroja.

Prvá harmonická frekvencia vzniká kmitaním polovice dĺžky struny a je preto dvojnásobná – tento interval sa v hudbe nazýva oktáva a je nám aj sluchovo najpríjemnejšia. Tento princíp sa neobmedzuje iba na struny, veľmi podobne sa chovajú trubice dychových nástrojov a nakoniec aj ľudské hlasivky.

 

Intervaly a ladenie

Vnímaná výška tónu je všeobecne závislá na frekvencii. Je dôležité podotknúť, že melódiu každej skladby vnímame len relatívne. Ľudské ucho nedokáže presne určiť (zmerať) frekvenciu ale pri počúvaní vnímame interval (rozdiel) medzi tónami zahranými po sebe alebo aj súčasne napríklad v akorde. Existujú však aj ľudia, ktorí sú obdarení absolútnym sluchom.

Ladenie nástroja nám vo všeobecnosti určuje frekvencie jednotlivých tónov a vzdialenosti medzi nimi. Ako som už predtým naznačil, vzdialenosť medzi základným tónom a prvou harmonickou frekvenciou je oktáva.  Jedná sa o veľmi ľubozvučný interval. Tóny vzdialené o oktávu označujeme rovnakým písmenom C,C1,C2 .

Veľmi zaujímavým poznatkom v oblasti harmónie je pravidlo súzvuku, čiže ako sa nám zdá zahraný interval alebo akord ľubozvučný a príjemný. Miera súzvuku intervalu sa dá určiť zo súčtu čísel, ktoré sa vyskytujú v čitateli a menovateli zlomku vyjadrujúceho pomer jeho frekvencii. Najjednoduchší pomer je oktáva 2:1 čo je v súčte 3, ďalej kvinta 3:2 – súčet zlomku je 5, kvarta s pomerom 4:3 čo nám dáva 7. Postupne takto môžeme popísať aj ďalšie intervaly.

Ladenie ako také sa postupne vyvíjalo naprieč civilizáciami a kultúrami dlhú dobu.

Čisté(Pytagorejské)ladenie

Prvý, kto sa venoval matematickému popisu ladenia nebol nikto iný ako sám Pytagoras.

Legenda vraví, že práve keď rozmýšľal nad problémom súzvuku a nesúzvuku

prechádzal okolo obchodu kováča, kde započul zvuky udierajúcich kladív.  Ani na chvíľu

nezaváhal a od kováčov si požičal obidve kladivá, u ktorých si všimol, že ich tóny sú od seba vzdialené jednu oktávu. Keď ich odvážil, zistil, že pomer ich hmotností je 2:1.

Jeho ladenie na určenie všetkých tónov používa len intervaly vyjadriteľné pomerom celých čísel a tým pádom sú prirodzene čisté. V pytagorejskom ladení sú tóny tvorené postupne takzvanými kvintovými krokmi. Nevýhodou je ale zložitý prenos skladieb do iných tónin a to, že v každej z nich znie úplne inak. Tento nedostatok bolo potrebné nejako odstrániť.

Temperované ladenie

Temperované ladenie je vrcholom dlhej evolúcie hľadania toho správneho a univerzálneho ladenia. Vzniká z pytagorejského ladenia s 12 poltónmi v oktáve ale zmenšením (temperovaním) všetkých čistých kvint. Dôsledkom toho je, že na rozdiel od iných ladení je pomer frekvencií medzi poltónmi vždy rovnaký.

K ladeniu s touto štruktúrou vieme prísť priamo aj matematicky – rozdelením oktávy na 12 intervalov, kedy práve dvanástimi krokmi dosiahneme dvojnásobnú frekvenciu t.j oktávu. Hľadaný poltónový krok je práve dvanásta odmocnina z dvoch. Frekvencie poltónov v temperovanom ladení tvoria geometrickú postupnosť s krokom, ktorý je v podstate iracionálne číslo.

 

Práve preto sú všetky intervaly okrem oktávy v temperovanom ladení mierne falošné.  Avšak táto vlastnosť bežne neprekáža ale dokonca umožňuje voľnú transpozíciu skladby do ľubovoľnej tóniny. Dnes už každý nástroj používaný v modernej ale aj klasickej hudbe je ladený práve temperovane.

 

Ako je vidieť, spojitostí medzi hudbou a matematikou sa vynára stále viac a viac a už nemôže byť pochýb, že tieto dva svety majú veľa spoločného.  Aj napriek odlišnostiam v pohľade na svet hľadajú v podstate obidva jedno: krásu a dokonalosť. Aj keď každý svojim spôsobom…